重新上传陈老师的文章 安乐椅的力学
------- 陈家铿--------
陈家铿老了，喜欢坐安乐椅。这是我在居所的自拍照。我常坐在那里休息、看书、看电视（包括DVD歌曲、粤曲、影视剧、旅游片等）。
我坐的是去年买的太师椅（安乐椅），很舒服。它没有后面的支撑，只有前面两片弯弯的木板承受重力，所以坐起来感觉柔韧，有弹性，可上下摇晃（有时想想好像很危险：会倒塌吗？）。我觉得这椅简单、便宜，比中国的土豪现在流行的硬梆梆的酸枝、柚木、红木、黄梨木等所谓高级复古家具，不但实用，而且舒服多了。
这椅是世界闻名的瑞典宜家公司产品，只用几根木板条加螺栓，软垫构成。买时是散件，要自己回家按图组合安装。我佩服他们有此设计理念，且对它的力学结构感兴趣。但一时弄不明白。
有一天吃晚饭时，突然想通它的力学道理-----这不是类似楼房飘出去的阳台吗？阳台也很有力，有人在上面加建成厨房，杂物房，甚至是睡房等。但那是钢筋混凝土结构，不会感觉柔韧和弹性。建阳台，里面的钢筋布置有窍门：飘出去的部分，钢筋布置在下面；与墙壁相连处钢筋则要弯曲上去变成在上面。记得在80年代，农村开始广建房子，有些人少读书，想当然地在阳台布置钢筋时出错---布置反了！浪费材料又危险。我曾在82--85年在台山师范上大专数学函授课时，讲农村建筑，讲理论力学，讲过这个问题，现在还有记忆。
这倚子没有无缝钢管，甚至金属（除了螺栓）。主力是用三指宽一指厚的木板弯成的两把缺了左边一竖的口字形的木框。扶手在前边转向下，再转向后着地。两个转弯处成弓形。我想起古时候的弓，强弓要几百斤力才拉得动。这张椅因两把弓力而柔韧并有弹性，所以坐得舒适。这张看似软弱无力的椅应可承受几百磅重的洋人，否则把人摔坏挨告，不得了。美国律师多，官司多，出了事可能要赔几百万上千万的。
现在悬臂、悬梁应用广泛，中国桥梁建设世界第一，斜拉桥比闻名世界的悬链式吊桥-----三藩市金门大桥更普遍应用，因为节省成本-----只要建好几个桥墩，在桥墩上放桥梁，向两端各伸出去可达一百米甚至更多；每一桥墩上也是这样放，连起来就是一座桥的雏形，再做桥面就是了；如果再加上钢索斜拉，那就更省料而得到更大承受力和更牢固。中国杭州湾跨海几十公里长的大桥，西藏天路上诸多高架桥，.....。中国的建设世界惊艳！以前是把桥梁放在两个桥墩上，跨度有限，施工难，成本高；现在是把桥梁放在每个桥墩上再连起来，聪明多了。
这张椅子的力学有趣，两个转角弯弓，让我坐得舒服。两条木板弯成的缺了左边一竖的口字形，加上几条横木板连接，上面放坐垫，就能够承受重力，多么巧妙，好像危而实无险。不要少看这三几块横木板的连接，没有它，单靠两条弯成缺了左边一竖的口字形木板条是不够力的，就像一两根筷子易折断，几根筷子联合起来难折断一样道理。
世事洞明皆学问，不是吗？
（写于2014.11）
几何级数趣谈
--------陈家铿-------
我在50年代是个初中生时第一次知道几何级数，那是“反右”运动，报纸批判北大校长马寅初，因为他提议控制人口，认爲人口按几何级数增加，而物质只是按算术级数增加，长此下去，国家会有危机。批判者认为这是资产阶级学者马尔萨斯的人口论观点。80年代，他被恢复名誉。有人说，当年批错一人，中国多生了3亿。
什麽是几何级数？我后来才知道，就是等比级数。我从一本小孩子看的连环图书中知道一个关于等比级数的故事。说的是古代中亚一个国家，国王要赏赐一个立了大功挽救了国家的大臣，他诚恳地、夸口地说：“你想要什麽我都可以答应”。当时他们正在下棋，那大臣一再说，他没什么需要的。但禁不住国王再三劝说，那位很有学识的大臣就指着棋盘说：“那好吧，我在棋盘的第一格要一粒麦，第二格加倍是两粒，第三格再加倍是4粒，如此类推，放满棋盘64格就好”。国王哈哈大笑，你不要金不要银，就这个要求？国王不解，但也叫人去办了。第二天，管财物的大臣报告说，我们国家没有那么多小麦。国王惊奇，不信，但后来终于不得不信了。
我们算一算：前面4格的麦粒数依次是1、2、4、8，第2格是2的1次方，第3格是2的2次方，第4格是2的3次方；4格一共是15粒（2的4次方-1=16-1=15）。我们可以找出规律并证明：第64格的麦粒是2的63次方；64格放满，一共是（2的64次方-1）粒。我们算算，2的64次方是多少？现在中学生都有函数型计算器，可以轻易算出大约是1.84乘10的 19次方，即大约1后面有19个0。这1后面带19个0的麦粒有多少呢？不妨假设10000粒麦是1KG（公斤），化成KG数是1后面带15个0；再化成吨数是1后面带12个0；再化成万吨数是1后面带8个0，再化成亿吨数就是18400亿吨！中国粮食産量世界第一，年産量也不过是几亿吨。可以想象，别说古代，就是今天全世界的小麦也没有18400亿吨这么多！
由此可见，公比为2的等比级数或者叫几何级数，增长快得惊人。即使从1开始，经濄64次加倍（即翻番），就变成一个天文数字。
中国开放改革经济快速发展，GDP平均每六、七年翻一番，36年增长36倍，即翻了五番有多。中国从一穷二白发展成为世界第二大经济体。回想当年物资短缺，买点肉都要票券，住房也极爲紧张。如今市场商品琳琅满目，高楼大厦拔地而起，家庭和餐馆厨余多到难以处理。这只是几十年时间，只是翻了几番的结果，如果今后再翻一番，或者再翻几番，又是什麽样子？当然，这36年经济发展奇迹有许多因素，其中有后发优势和人口红利。未来36年这两个优势不存在了，发展速度降低爲一位数是新常态。中国最近定出的目标是：到2020年GDP比十年前的2010年翻一番，今后五年要有6.5%的增长速度。一胎化也决定改爲两孩化了。
要经济每年翻番的高速度是梦想，中国曾有过教训。但每年争取百分之十几的增长是可以的，只要持之以恒，时间长了就很可观。中国近36年的经济发展就是例子。据报道，美国股神巴菲特就是保持了60多年平均百分之十几的获利，创造了世界奇迹——不从事工农业生産，不靠高科技，成爲世界首富之一。
目前加州正遭遇百年未遇的大旱，政府号召人人节约用水。其实我们不论手洗还是机洗衣服，都有个漂洗程序（广东人俗称“过水”）。每过一次水我们都看到水清了许多，即污水的浓度降低了许多（比如降低到30%）；如果把每次过水的用水量减少（例如减半或三分之一），而保持同样过水次数（或增加一次），可以达到一样或者更好的清洁效果，并能节约用水。我记得1973年台师的黑板报上有曹发桢老师出的类似内容的数学思考题，让同学去思考和証明。老同学应该还记得吧？
[ 此帖被见龙人在2016-04-12 12:07重新编辑 ]
